特別開講！蒼架塾 〜2次方程式編〜

こんばんは！
大変遅くなりましたが、以前お知らせしていた【蒼架塾】を開講します

今回のテーマはゆゆからのリクエストの

2次方程式

です！主に中学3年生で習う範囲ですね(´∀｀)

2次方程式を解くコツは２つ
・解き方のパターンを覚えること
・武器をたくさん手に入れること です

こうやって見ると、すごく簡単に思えますよね？
ですが、2次方程式を甘く見てはいけません！
二次方程式の解き方はその後に習う二次関数や高次方程式に大きく影響します

つまり、二次方程式を攻略することは、今後の数学を得意にする第一歩でもあるのです！！

では、具体的にはどうすればいいのか？

それを今回は解き方のパターン毎に説明していきます

ある程度、知っているていで進めてしまうところもあるので、わからないことがあったら質問してくださいね

はじめに 〜二次方程式の解法パターン〜

まず、１つ目のコツ
【解き方のパターンを覚えること】を攻略するには問題数をこなすことが1番なんですが、ここで練習問題を紹介していてもしょうがないので、今回はその使い分け方を紹介していきます

二次方程式の解法は大きく分けてこの４つ

①因数分解
②平方完成
③平方根
④解の公式

です！
この４つを攻略すれば二次方程式は簡単に解くことができます

それでは、①因数分解からいきましょう！

1.因数分解

さて、因数分解は二次方程式を習う前に習っていると思うので、詳しい説明は今回は省略します

二次方程式を解く上で因数分解を攻略していると、格段に解きやすくなります(*^^*)

まず、因数分解の公式をおさらいしておきましょう

二次方程式を解くときに使う因数分解の公式はこの５つ（+1）が多いですね

残りの１つは１つ目のマイナスバージョンです。一応aかbにマイナスの値を代入するだけなので省略しました

では、この公式を使ってどのように解くのか
例題として【x^2+12x+27= 0】
（^は累乗の記号です）
で解説していきます

まず、x^2+12x+27を因数分解すると上の図にあるように(x+3)(x+9)になります

さて、二次方程式はここでは終わりません
方程式を解くというのは、xやyなどの文字の値を出すことです

ということで、今回の二次方程式のゴールはxの値を出すことです
では、どうやって出すのか？

ここで、数学の法則、すなわち【武器】を授けましょう！

二次方程式を解く武器
❶【a×b=0】ならば【a=0】または【b=0】

この武器を使えば因数分解を使って二次方程式を解くことができます！

では、先ほどの問題でやって見ましょう

今、因数分解が終わった状態で
(x+3)(x+9)=0
の形になっています

ここで先ほどの武器を使ってみます
掛け算の答えが0になるとき、掛け合わせた数のどちらかが0になります

したがって、今回の場合は
【x+3=0】か【x+9=0】になるxの値を求めればいいんです

もう皆さん、答えはお分かりですね？

x^2+12x+27=0
(x+3)(x+9)=0
x=-3,-9

になります

こんな感じで、因数分解の公式と先ほどの武器さえ覚えていれば簡単に解けるんです！

ですが、全ての二次方程式にこのワザが使えるわけではありません
二次式の段階で因数分解ができなければ、このワザを使うことはできないのです


では、このワザが使えるのか見分ける方法は…

1番の解決策は公式に当てはめて解けるか解けないかを確かめることです
ですが、中には分かりにくいものもありますよね…

そんなときには下手に因数分解で解こうとせず、他の方法を試しましょう
そちらの方が確実で早く解ける場合もあります！

因数分解は確実に使えると分かった時と、先生から指定されたときに使うのをオススメします(´∀｀)

NEXT➡︎②平方完成

②平方完成

今回は【x^2+6x+5=0】を例に解説していきます(*^^*)

今回も因数分解は使えますが、今回は平方完成でいきましょう！

まず、xの係数に注目してみてください
今回のようにxの係数が偶数の場合は平方完成がすごくやりやすくなります

平方完成は二次式を平方の形にまとめてから計算する方法です
言葉で説明するのは難しいので、早速やってみましょう！(´∀｀)

要するに、平方完成は二次式を(x+a)^2 +b=0の形にもっていくことです

x^2+6x+5=0 をどうやって(x+a)^2 +b=0の形に持っていくかというと、
因数分解の公式の2番目、3番目を使っていきます

まずは x^2+6x を x^2+2ax の形に分けてみます
すると…
x^2+6x=x^2+2•3x になりますよね？
そうすると、a=3であることが見えてきます

これをx^2+2ax+a^2へ代入すると…

x^2+2ax+a^2=x^2+2•3x+3^2
=x^2+2•3x+9
=(x+3)^2
となります！

これで、2乗の形が完成し、終わりのように見えますが…
実はまだ終わりじゃないんです(T ^ T)

上の式に出てきた9は元の式に存在しない数字ですよね？
更には、元々あった5も消えてしまいました！
これをそのままにしてしまうと、イコールが成り立ちません！！
要するにxの値が出せないんです！！！

これは大変！Σ('◉⌓◉’)
では、イコールを成り立たせるにはどうすればいいでしょう？

答えは簡単です！
多い分は引いてあげて、足りない分は出してあげましょう

つまり…
x^2+6x+5≠(x+3)^2
⬇︎
x^2+6x+5=(x+3)^2 -9+5
としてあげてください！
これでイコールが成り立ちますね(*^^*)

最後に-9+5は計算できるので、計算して-4

よって
【x^2+6x+5=(x+3)^2 -4】の形にして平方完成は終了です

NEXT➡︎③平方根

③平方根

さあさあ、やっと平方完成が終わりました！
山を１つ変えましたね(´∀｀)

しかし、まだxの値が出ていないんです…

これでは二次方程式を解けたとは言えません(T ^ T)
では、続いてはこの状態からどうやってxの値を出すか解説しましょう！

ここで数学の武器❷平方根です！！
平方根、即ち√（ルート）のことですね

では、この平方根をどうやって使うのか？
先ほどの式を例に説明します

まず、平方完成が終わった状態での式は次のようになっています

(x+3)^2 -4=0

この状態から平方根を使って解くには2乗=○の形にする必要があります

まずはその形にもっていきましょう
(x+3)^2=4 とこのように移項するだけですね
このときに符号の変化に気をつけてください！

さて、平方根（√a）とは2乗してaとなる値のことですね？

つまり、上の式のを平方根の考え方で見てみると、
(x+3)を2乗すると4になるんです

2乗して(x+3)^2になるのは？
当然x+3ですね

では、2乗して4になるのは？
そう！2と-2です(*^^*)

このときに-2が含まれることを忘れないでくださいね！

したがって
(x+3)^2=4
x+3=2,-2 となります

ここまできたら、あとは簡単(´∀｀)
x+3=2,-2の式をx=の式に変えてみましょう

x+3=2,-2
x=2-3,-2-3

となります！
最後に2-3と-2-3は計算できるので、計算して…

x=-1,-5 が答えというわけですね(*^^*)

平方根は平方完成の後や、2乗=○の形になっているときに使います

また、二次方程式以外にも平方根が登場する単元は多いので、必ず押さえておきましょう！


平方完成はとても面倒くさいですが、xとyなど、２つの値を出さなければいけないときによく使われます

この場合は他の方法が使えない、もしくは複雑になってしまうので、平方完成をマスターしておくとかなり心強くなると思います！


まあ、二次方程式を解くのに使う際はxの係数が偶数の時をオススメします
奇数の場合、分数が出てきてしまうので…

どうしても苦手な人は、練習問題をたくさんやってみましょう！

解説を読んで理解するよりも、実際に解いて感覚を身につける方が確実で簡単です(*^^*)

それでも苦手な人は、テストの時は先生から指定された問題以外には使わない方がいいかもしれませんね(^_^;)


さて、最後は④解の公式です！
これは複雑ですが、どの二次方程式を解くときにも使える万能の武器です

必ず覚えてくださいね(*^^*)

NEXT➡︎④解の公式

④解の公式

いよいよ最後のパターンで、３つ目の武器
❸解の公式です

先にその武器をお見せしましょう！

なんじゃこりゃ！って感じですよね？笑
私もはじめに見た時はそう思いました(´∀｀)

ですが、これは前記した通り、どんな二次方程式にも使える万能の武器なんです！

では、x^2+7x+8=0で試しにやってみましょう！

まず、この式を解の公式の上にある二次方程式に当てはめると…
a=1,b=7,c=8になります

あとは、これらを解の公式に代入するだけです！

それでは、分母からいくと…
2a=2×1=2
となるため、分母は2になります

そして分子は…

まずは-b =-7
次に√b^2 -4ac=√7^2 -4×1×8
=√49-32
=√17

最後にこれをまとめると…

-7±√17／2（2分の-7±√17）になります

解の公式の強みはaの値が1以外の数でも楽に出せるところです

因数分解や、平方完成でaの値が1以外のものを考えるのは大変ですよね…(^_^;)
その点、解の公式はどんな二次方程式にも対応できるのでいいですね

計算は多少めんどくさいですが、
慣れてしまえば、これが1番楽に感じる人も多いみたいですね


また、解の公式の特性を生かして作られたものたちが今後、飛び出してきます！
そいつに対抗するためにも解の公式は絶対に覚えておきましょう！！

以上で、4パターン全ての解説が終わりました！(´∀｀)
これをもって二次方程式の解説とさせていただきますm(_ _)m

予定より遅くなった上に、とんでもなく長くなってしまいすみませんm(_ _)m

少しでも全国の受験生や、学生の皆さんのお力になれたら幸いです(*^^*)

まだまだリクエスト募集中です！
どの教科でも構いませんので、リクエストお待ちしてます！！

以上、蒼架塾 講師の蒼架でした！



p.s.
嵐ドームツアー2017[untitled]の東京ドーム公演

12/24 18:00〜の回に当選し、参戦することになりました！


参戦される方々、一緒に精一杯楽しみ、精一杯盛り上げましょう！！

叶わなかった方々、皆さんの分まで嵐さんに愛を届けてきます！
いつか皆さんにご縁がありますよう心から祈っていますm(_ _)m


それでは！╰(*´︶`*)╯